Hi Ruud, 

As your requirement was to show Account details to be visible on the Case object for that I have made some code Changes. I have created :
1. Apex Class - Name - > RecordTestClass  (I have used this for querying the fields of Account from Case Object ).
2. Apex Controller - Name - > RecordIdTestController ( Used to  pass the data to helper.)
3. Apex Helper  - > RecordIdTestHelper (Use to call the apex class and store in some object).

Below is the code for the same.

Apex Component:

<aura:component implements="flexipage:availableForAllPageTypes,force:hasRecordId" access="global" 
                controller="RecordTestClass">
    <aura:attribute name="recordId" type="Id"/>
    <aura:handler name="init" value="{!this}" action="{!c.doInit}"/>  
    <aura:attribute name="CaseObject" type="Object"/>
    <aura:attribute name="CaseObjectList" type="Object[]"/>    
     
     <h1>Record ID Test :</h1> 
     <div id="Content-Table">
        <table class="slds-table slds-table_bordered slds-table_cell-buffer">
            <thead>
            <tr class="slds-text-title_caps">
                <th scope="col">
                    <div class="slds-truncate" title="Account Name">Account Name</div>
                </th>
                <th scope="col">
                    <div class="slds-truncate" title="Account Name">Contact LastName</div>
                </th>
                <th scope="col">
                    <div class="slds-truncate" title="Close Date">Contact Phone</div>
                </th>
                <th scope="col">
                    <div class="slds-truncate" title="Stage">Contact Email</div>
                </th>
            </tr>
            </thead>
            <tbody>
            <aura:iteration items="{!v.CaseObjectList}" var="case">
            <tr>
                 <td data-label="AccountName">
                    <div class="slds-truncate" title="{!case.Account.Name}">
                        <a href="{!'/'+case.AccountId}" target="_blank">
                                {!case.Account.Name}
                        </a>
                    </div>
                </td>
                <td data-label="Last Name">
                    <div class="slds-truncate" title="{!case.Contact.LastName}">
                        <a href="{!'/'+case.Id}" target="_blank">
                                {!case.Contact.LastName}
                        </a>
                    </div>
                </td>
               <td data-label="Phone">
                    <div class="slds-truncate" title="{!case.ContactPhone}">{!case.ContactPhone}</div>
                </td>
                <td data-label="Email">
                    <div class="slds-truncate" title="{!case.ContactEmail}">{!case.ContactEmail}</div>
                </td>
            </tr>
            </aura:iteration>
            </tbody>
        </table>
    </div>
</aura:component>


Apex Controller :
({
    doInit : function(c,e,h) {
        h.doInit_Helper(c,e,h) 

    }, 
})

Apex Helper : 
({
    doInit_Helper : function(c,e,h) {
        var id = c.get("v.recordId");
        console.log('id is-->>' + id);
        var action = c.get("c.getcase_Apex");
        action.setParams({
            "caseid": id
        });
        action.setCallback(this, function (r) { 
            if (r.getState() === 'SUCCESS') {
                console.log('state' + r.getState());
                var storedResponse = r.getReturnValue();
                console.log('storedResponse-->>' + JSON.stringify(storedResponse));
                if (storedResponse !== null) {
                    var newObjList = [];
                    for (var i = 0; i < storedResponse.length; i++) {
                        var obj = storedResponse[i];
                        var newObj = {};
                        for (var key in obj) {
                            if (obj.hasOwnProperty(key)) {
                                var keyList = key.split('__');
                                var newKey = '';
                                if (keyList.length > 2) {
                                    newKey = keyList[1].concat('__' + keyList[2]);
                                } else {
                                    newKey = key;
                                }
                                newObj[newKey] = obj[key];
                            }
                        }
                        c.set("v.CaseObject", newObj);
                        newObjList.push(newObj);
                    }
                    console.log('newObjList --> ' + JSON.stringify(newObjList));
                    c.set("v.CaseObjectList", newObjList);
                    console.log('CaseObjectList --> ' + JSON.stringify(c.get("v.CaseObjectList")));
                }
            } else {
                console.log('ERROR'); 
                console.log(r.getError());
            }
        });
        $A.enqueueAction(action);
    },
})


Apex Class :
public class RecordTestClass {
    @AuraEnabled
    public static List<Case> getcase_Apex (String caseid) {
        system.debug('In Apex class with Case id-->'+caseid); 
        if (caseid != null) {
            List<Case> caseList = new List<Case>();
            caseList = [SELECT  AccountId,Account.Name , ContactId, Contact.LastName,ContactPhone ,ContactEmail  FROM Case  WHERE id = :caseid ];
            if (caseList.size() > 0) {
                    return caseList;
            }
            system.debug('caseList--->'+caseList);
        } 
        return null;
    }
}    

Screenshot :


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Regards,
Suraj​