Trigger Logic:
-------------------------------------------------------------------------------------
/**
 * Author: 
 * Created Date: 
*/
trigger ContactCountsOnFirm on Contact (after insert, after update, after delete, after undelete) {
    if(Trigger.isDelete) {
        ContactHandler.onBeforeSave(Trigger.old);
    } else {
        ContactHandler.onBeforeSave(Trigger.New);
    }
}

Handler code:
-------------------------------------------
public class ContactHandler {
    
    private static Set<Id> accountIds = new Set<Id>();
    
    public static void onBeforeSave(List<Contact> conList) {
        Map<Id, Contact> contactMap = new Map<Id, Contact>();
        
        Integer ActiveAdvisers              = 0;
        Integer AllIndividuals              = 0;
        Integer CampaignEngagedIndividuals     = 0;
        Integer CampaignEngagedActAdvisers     = 0;
        
        // Iterate over the list of contacts
        for(Contact con : conList) {
            if(con.AccountId != null) {
                accountIds.add(con.AccountId); // To store the unique set of Account Id's
                contactMap.put(con.AccountId, con);
            }
        }
        
        // Condition to check the size of the Account set
        if(accountIds.size() > 0) {
            List<Account> accounts = getAccounts(accountIds);
            
            // Condition to check for the size fo the Account Map
            if(accounts.size() > 0) {
                
                // Loop to iterate over the List of Accounts
                for(Account account : accounts) {
                    
                    // Condition to check for the Account Id that exists in Contact Map
                    if(contactMap.containskey(account.Id) ) {
                        
                        // Condition to check for the Active Advisers
                        if(contactMap.get(account.Id).ZZ_Active_Adviser_Count__c  > 0) {
                            account.Total_Number_of_Active_Advisers_on_Firm__c  += ActiveAdvisers;
                        }
                        
                        // Condition to check for the Campaign Engaged Individuals 
                        if(contactMap.get(account.Id).ZZ_Campaign_1_Engaged_Individuals_Count__c   > 0 || 
                           contactMap.get(account.Id).ZZ_Campaign_2_Engaged_Individuals_Count__c   > 0 ) {
                               account.Total_No_of_Campaign_Individuals_on_Firm__c  += CampaignEngagedIndividuals;
                           }
                        
                        // Condition to check for the Campaign Engaged Act Advisers 
                        if(contactMap.get(account.Id).ZZ_Campaign_1_Engaged_Act_Advisers_Count__c    > 0 || 
                           contactMap.get(account.Id).ZZ_Campaign_2_Engaged_Act_Advisers_Count__c    > 0) {
                               account.Total_No_of_Campaign_Eng_Act_Advisers_on_Firm__c  += CampaignEngagedActAdvisers;
                           }
                        
                        account.Total_Number_of_Individuals_on_Firm__c += AllIndividuals; 
                        
                        /* ******************** Second trigger code ****************************** */
                        
                        // Condition to check for the Total Ind 1 Engagement Score
                        
                        if(contactMap.get(account.Id).Total_Ind_1_Engagement_Score__c  != null) {
                            account.Total_1_Engagement_Score__c  += contactMap.get(account.Id).Total_Ind_1_Engagement_Score__c;
                            
                            // Inner if condition
                            if(contactMap.get(account.Id).ZZ_Active_Adviser_Count__c   > 0) {
                                account.Total_1_Act_Adviser_Eng_Score__c  += account.Total_1_Engagement_Score__c;
                            }
                        }
                        
                        // Condition to check for the Total Ind 2 Engagement Score
                        if(contactMap.get(account.Id).Total_Ind_2_Engagement_Score__c  != null) {
                            account.Total_2_Engagement_Score__c  += contactMap.get(account.Id).Total_Ind_2_Engagement_Score__c;
                            // Inner if condition
                            if(contactMap.get(account.Id).ZZ_Active_Adviser_Count__c > 0) {
                                account.Total_2_Act_Adviser_Eng_Score__c  += account.Total_2_Engagement_Score__c;
                            }
                        }
                    }
                }

               // Performing the DML operation
                update accounts;
            }
        }
        
    }
    
    // Method to get all the accounts
    private static List<Account> getAccounts(Set<Id> accountIds) {
        List<Account> accounts = [SELECT Id, Total_Number_of_Active_Advisers_on_Firm__c, Total_Number_of_Individuals_on_Firm__c, 
                                    Total_No_of_Campaign_Eng_Individuals_on_Firm__c, Total_No_of_Campaign_Eng_Act_Advisers_on_Firm__c,  
                                    Total_1_Engagement_Score__c, Total_2_Engagement_Score__c, Total_1_Act_Adviser_Eng_Score__c, 
                                    Total_2_Act_Adviser_Eng_Score__c FROM account WHERE Id = :accountIds];
        return accounts;
    }

}

Here only one DML is used for both your trigger logics and the only query is used. Hope this will resolve your issue.